3. Площадь треугольника, образованного точками пересечения параболы у = 0,5 (x-3)(x+к) равна 1,5 кв. ед. Найти к

Решение:

Парабола имеет вид \( y = 0.5(x - 3)(x + k) \). Точками пересечения с осью Ox являются \( x = 3 \) и \( x = -k \).

Вершина параболы находится посередине между корнями, то есть \( x_в = \frac{3 + (-k)}{2} = \frac{3 - k}{2} \).

Значение \( y \) в вершине: \( y_в = 0.5\left(\frac{3 - k}{2} - 3\right)\left(\frac{3 - k}{2} + k\right) = 0.5\left(\frac{3 - k - 6}{2}\right)\left(\frac{3 - k + 2k}{2}\right) = 0.5\left(\frac{-3 - k}{2}\right)\left(\frac{3 + k}{2}\right) = 0.5\frac{-(k+3)(k+3)}{4} = -0.125(k+3)^2 \).

Треугольник образован точками \( (-k, 0) \), \( (3, 0) \) и \( (x_в, y_в) \).

Основание треугольника равно \( |3 - (-k)| = |3 + k| \).

Высота треугольника равна \( |y_в| = |-0.125(k+3)^2| = 0.125(k+3)^2 \) (так как \( y_в \) всегда отрицательно, парабола открыта вниз, а \( (k+3)^2 \) всегда неотрицательно).

Площадь треугольника равна \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).

По условию, площадь равна 1.5:

\[ \frac{1}{2} |3 + k| · 0.125(k+3)^2 = 1.5 \]

\[ 0.5 |3 + k| · 0.125(k+3)^2 = 1.5 \]

\[ 0.0625 |3 + k|^3 = 1.5 \]

\[ |3 + k|^3 = \frac{1.5}{0.0625} = 24 \]

\[ |3 + k| = \sqrt[3]{24} = 2\sqrt[3]{3} \]

Возможны два случая:

1) \( 3 + k = 2\sqrt[3]{3} \) → \( k = 2\sqrt[3]{3} - 3 \).

2) \( 3 + k = -2\sqrt[3]{3} \) → \( k = -2\sqrt[3]{3} - 3 \).

Ответ: \( k = 2\sqrt[3]{3} - 3 \) или \( k = -2\sqrt[3]{3} - 3 \).