3. По графику гармонических колебаний (рисунок 1) определите амплитуду, период, частоту, циклическую частоту и запишите уравнение зависимости координаты колеблющегося тела от времени: x(t).

Решение:

Для определения параметров колебаний воспользуемся данными графика (Рисунок 1).

1. Амплитуда (A): Это максимальное отклонение от положения равновесия. По графику видно, что максимальное значение координаты равно 20 см, а минимальное -20 см. Следовательно, амплитуда:
   \( A = 20 \text{ см} \)


2. Период (T): Это время одного полного колебания. На графике видно, что одно полное колебание (от 0 до 0.8 с, или от пика до следующего пика) занимает 0.8 секунды.
   \( T = 0.8 \text{ с} \)


3. Частота (\(\nu\)): Это число полных колебаний в единицу времени. Она обратно пропорциональна периоду:
   \( \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.8 \text{ с}} = \frac{10}{8} \text{ Гц} = 1.25 \text{ Гц} \)


4. Циклическая частота (\(\omega\)): Это угловая частота, которая связана с частотой соотношением:
   \( \omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 1.25 \text{ Гц} = 2.5\pi \text{ рад/с} \)


5. Уравнение зависимости координаты от времени x(t):
   Общий вид уравнения гармонических колебаний: \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0) \) или \( x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0) \).
   Из графика видно, что в момент времени \( t=0 \), координата \( x(0)=0 \). Также видно, что колебания начинаются с нуля и идут вверх (положительная скорость).
   Если использовать синус:
   \( x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0) \)
   Подставляем \( t=0 \) и \( x(0)=0 \):
   \( 0 = 20 \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0) \)
   \( 0 = 20 \sin(\phi_0) \)
   Это означает, что \( \phi_0 = 0 \) или \( \phi_0 = \pi \) и т.д.
   Поскольку график начинается с нуля и движется в положительном направлении, начальная фаза \( \phi_0 = 0 \) подходит.
   Тогда уравнение будет:
   \( x(t) = A \sin(\omega t) = 20 \sin(2.5\pi t) \) (где x в см, t в секундах).
   Проверим: при \( t = 0 \), \( x(0) = 20 \sin(0) = 0 \). При \( t = T/4 = 0.8/4 = 0.2 \), \( x(0.2) = 20 \sin(2.5\pi \cdot 0.2) = 20 \sin(0.5\pi) = 20 \cdot 1 = 20 \). Это соответствует графику.

Ответ: Амплитуда \( A = 20 \text{ см} \), период \( T = 0.8 \text{ с} \), частота \( \nu = 1.25 \text{ Гц} \), циклическая частота \( \omega = 2.5\pi \text{ рад/с} \). Уравнение колебаний: \( x(t) = 20 \sin(2.5\pi t) \).