3. По кругу расставлены шестьдесят горшков. В каждом из горшков сидит хотя бы одна лягушка, и в любых трёх стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки. Сколькими способами цапля Анастасия сможет выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось ровно три лягушки?

Решение:

Обозначим количество лягушек в горшках как \(a_1, a_2, …, a_{60}\).

По условию задачи, \(a_i ≥ 1\) для всех \(i\), и \(a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4\) для любых \(i\) (индексы берутся по модулю 60).

Рассмотрим условие \(a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4\). Так как \(a_i ≥ 1\), единственное возможное разбиение числа 4 на три натуральных числа — это \(1+1+2\) в некотором порядке.

Теперь рассмотрим условие для следующих трех горшков: \(a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} = 4\).

Сравнивая два равенства:

\(a_i + a_{i+1} + a_{i+2} = 4\)

\(a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} = 4\)

Из этого следует, что \(a_i = a_{i+3}\). Это означает, что количество лягушек в горшках повторяется с периодом 3.

Так как у нас 60 горшков, и \(60\) делится на 3, то последовательность количеств лягушек будет иметь вид \(x, y, z, x, y, z, …\), где \(x+y+z=4\) и \(x, y, z ≥ 1\).

Единственное возможное решение для \((x, y, z)\) — это перестановки \((1, 1, 2)\).

Возможные варианты распределения лягушек:

• \(1, 1, 2, 1, 1, 2, …\)
• \(1, 2, 1, 1, 2, 1, …\)
• \(2, 1, 1, 2, 1, 1, …\)

Мы ищем количество способов выбрать два горшка, в которых суммарно 3 лягушки. Это означает, что мы должны выбрать два горшка с количествами лягушек \(1\) и \(2\).

Рассмотрим каждый вариант распределения:

1. Вариант: \(1, 1, 2, 1, 1, 2, …\)
• Горшки с 1 лягушкой: \(a_1, a_2, a_4, a_5, a_7, a_8, …\)
• Горшки с 2 лягушками: \(a_3, a_6, a_9, …\)

Всего 60 горшков. Период 3. Значит, в каждом периоде есть два горшка с 1 лягушкой и один горшок с 2 лягушками. Всего таких периодов \(60/3 = 20\).

Количество горшков с 1 лягушкой: \(2 × 20 = 40\).

Количество горшков с 2 лягушками: \(1 × 20 = 20\).

Чтобы получить 3 лягушки, нужно выбрать один горшок с 1 лягушкой и один горшок с 2 лягушками. Количество способов: \(40 × 20 = 800\).

2. Вариант: \(1, 2, 1, 1, 2, 1, …\)
• Горшки с 1 лягушкой: \(a_1, a_3, a_4, a_6, …\)
• Горшки с 2 лягушками: \(a_2, a_5, a_8, …\)

В каждом периоде (3 горшка) — два горшка с 1 лягушкой и один горшок с 2 лягушками. Следовательно, общее количество горшков с 1 лягушкой — \(2 × 20 = 40\), а с 2 лягушками — \(1 × 20 = 20\).

Количество способов выбрать один горшок с 1 лягушкой и один горшок с 2 лягушками: \(40 × 20 = 800\).

3. Вариант: \(2, 1, 1, 2, 1, 1, …\)
• Горшки с 1 лягушкой: \(a_2, a_3, a_5, a_6, …\)
• Горшки с 2 лягушками: \(a_1, a_4, a_7, …\)

В каждом периоде (3 горшка) — два горшка с 1 лягушкой и один горшок с 2 лягушками. Следовательно, общее количество горшков с 1 лягушкой — \(2 × 20 = 40\), а с 2 лягушками — \(1 × 20 = 20\).

Количество способов выбрать один горшок с 1 лягушкой и один горшок с 2 лягушками: \(40 × 20 = 800\).

Во всех трех возможных вариантах распределения лягушек количество горшков с 1 лягушкой равно 40, а количество горшков с 2 лягушками равно 20. Таким образом, количество способов выбрать два горшка с суммарно тремя лягушками всегда одинаково.

Ответ: 800 способов.