№ 3. Построить график функции y = 8x³ / ((1 − ((1 − x²)²/(1 + x²)²))² · (1 + x²)²).

Упростим выражение, сохраняя ограничение исходной функции:

\(1-\dfrac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{(1+x^2)^2-(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{4x^2}{(1+x^2)^2}.\)

Тогда знаменатель исходной дроби равен \(\left(\dfrac{4x^2}{(1+x^2)^2}\right)^2(1+x^2)^2=\dfrac{16x^4}{(1+x^2)^2}\). Следовательно, \(y=\dfrac{(1+x^2)^2}{2x}=\dfrac{x^3}{2}+x+\dfrac{1}{2x}\), где \(x\ne0\).

График имеет две ветви и вертикальную асимптоту \(x=0\). Функция нечётная. Её стационарные точки: \(x=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\); локальный максимум — \(\left(-\dfrac{1}{\sqrt3},-\dfrac{8\sqrt3}{9}\right)\), локальный минимум — \(\left(\dfrac{1}{\sqrt3},\dfrac{8\sqrt3}{9}\right)\).