3. Постройте график функции f(x) = sqrt(x^2 - 4x + 4) - 3 и укажите: а) нули функции; б) область определения функции; в) область значений функции; г) промежутки знакопостоянства функции.

Решение:

Дана функция \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 4} - 3 \).

Сначала упростим выражение под корнем: \( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \).

Таким образом, функция принимает вид: \( f(x) = \sqrt{(x - 2)^2} - 3 \). Поскольку \( \sqrt{a^2} = |a| \), то \( f(x) = |x - 2| - 3 \).

Это функция, график которой является "галочкой" (график модуля), смещённой на 3 единицы вниз и на 2 единицы вправо.

а) Нули функции:
Приравняем функцию к нулю: \( |x - 2| - 3 = 0 \)
\( |x - 2| = 3 \)
Это означает, что \( x - 2 = 3 \) или \( x - 2 = -3 \).
\( x_1 = 2 + 3 = 5 \)
\( x_2 = 2 - 3 = -1 \>

б) Область определения функции (D(f)):
Функция \( f(x) = |x - 2| - 3 \) определена для всех действительных чисел, так как модуль определён для любого числа, и вычитание 3 также возможно для любого действительного числа.
\( D(f) = (-\infty; +\infty) \)

в) Область значений функции (E(f)):
Минимальное значение модуля \( |x - 2| \) равно 0 (когда \( x = 2 \)).
При \( x = 2 \), \( f(2) = |2 - 2| - 3 = 0 - 3 = -3 \>.
Так как модуль может принимать любые неотрицательные значения, то \( f(x) \) может принимать значения от -3 до плюс бесконечности.
\( E(f) = [-3; +\infty) \)

г) Промежутки знакопостоянства функции:
Функция положительна ( \( f(x) > 0 \) ), когда \( |x - 2| - 3 > 0 \), то есть \( |x - 2| > 3 \>.
Это выполняется при \( x - 2 > 3 \) или \( x - 2 < -3 \>.
\( x > 5 \) или \( x < -1 \>.
Промежутки, где \( f(x) > 0 \): \( (-\infty; -1) \cup (5; +\infty) \>.

Функция отрицательна ( \( f(x) < 0 \) ), когда \( |x - 2| - 3 < 0 \), то есть \( |x - 2| < 3 \>.
Это выполняется при \( -3 < x - 2 < 3 \>.
\( -3 + 2 < x < 3 + 2 \>.
\( -1 < x < 5 \>.
Промежуток, где \( f(x) < 0 \): \( (-1; 5) \>.

График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке (2, -3). Ветви направлены вверх. Функция пересекает ось X в точках (-1, 0) и (5, 0).

Ответ: а) Нули функции: \( x = -1 \) и \( x = 5 \). б) Область определения: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \). в) Область значений: \( E(f) = [-3; +\infty) \). г) Промежутки знакопостоянства: \( f(x) > 0 \) на \( (-\infty; -1) \cup (5; +\infty) \); \( f(x) < 0 \) на \( (-1; 5) \>.