3) Постройте график функции \(y=2x+4|x|-x^2\) и определите, при каких значениях \(c\) прямая \(y=c\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль по знаку аргумента:

\(y=\begin{cases}-x^2-2x, & x<0,\\6x-x^2, & x\geq 0.\end{cases}\)

Для левой ветви \(-x^2-2x=1-(x+1)^2\), область определения этой ветви — \(x<0\). Число её пересечений с прямой \(y=c\): два при \(0<c<1\), одно при \(c\leq 0\) или \(c=1\), ноль при \(c>1\).

Для правой ветви \(6x-x^2=9-(x-3)^2\), где \(x\geq0\). Число пересечений: два при \(0\leq c<9\), одно при \(c=9\), ноль при \(c>9\).

При \(c=0\) левая ветвь даёт одну точку, а правая — две: всего три. При \(c=1\) каждая ветвь даёт по одной точке, а правая ветвь также пересекает уровень \(1\) второй раз — итого три. При остальных значениях число точек иное.

Ответ: \(c=0\) или \(c=1\).