3. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график: а) значение y при x = −2,3; −0,5; 1,2; б) значения x, при которых y = −4; −1; 1,7; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Преобразуем функцию к виду с выделенным квадратом:

\(y=2x^2+8x+2=2(x+2)^2-6\). Это парабола с ветвями вверх, вершиной \((-2;-6)\) и осью симметрии \(x=-2\).

а) Подставим заданные значения аргумента:

• При \(x=-2.3\): \(y=2(-2.3)^2+8\cdot(-2.3)+2=-5.82\).
• При \(x=-0.5\): \(y=2(-0.5)^2+8\cdot(-0.5)+2=-1.5\).
• При \(x=1.2\): \(y=2(1.2)^2+8\cdot1.2+2=14.48\).

б) Используем вид \(y=2(x+2)^2-6\):

• Если \(y=-4\), то \((x+2)^2=1\), откуда \(x=-3\) или \(x=-1\).
• Если \(y=-1\), то \((x+2)^2=\frac52\), откуда \(x=-2\pm\frac{\sqrt{10}}2\).
• Если \(y=1.7\), то \((x+2)^2=3.85\), откуда \(x=-2\pm\frac{\sqrt{385}}{10}\).

в) Для нулей решаем \(2(x+2)^2-6=0\): \((x+2)^2=3\), поэтому нули функции — \(x=-2\pm\sqrt3\). Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция отрицательна между нулями и положительна за их пределами.

г) Слева от вершины функция убывает, справа возрастает. Наименьшее значение достигается в вершине.

Для графика показаны парабола, вершина и нули функции.

Ответ: а) −5,82; −1,5; 14,48. б) При y = −4: x = −3, −1; при y = −1: x = −2 ± √10/2; при y = 1,7: x = −2 ± √385/10. в) Нули: −2 ± √3; функция отрицательна на (−2 − √3; −2 + √3), положительна на (−∞; −2 − √3) и (−2 + √3; +∞). г) Убывает на (−∞; −2], возрастает на [−2; +∞); наименьшее значение равно −6.