3. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+2,25)(x-1)}{1-x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения исходной функции: \(x\ne1\). Поскольку \(x-1=-(1-x)\), при допустимых \(x\) получаем \(y=-(x^2+2,25)=-x^2-2,25\).

График — парабола \(y=-x^2-2,25\) с выколотой точкой \((1,-3,25)\).

Для пересечения с прямой \(y=kx\) решаем \(-x^2-2,25=kx\), то есть \(x^2+kx+2,25=0\), учитывая ограничение \(x\ne1\). Дискриминант \(D=k^2-9\).

При \(|k|<3\) пересечений нет, при \(|k|=3\) есть одна точка (двукратный корень допустим: \(x=-k/2\ne1\)). При \(|k|>3\) обычно две точки. Ровно одна останется, если один из двух корней равен запрещённому \(x=1\): подстановка даёт \(1+k+2,25=0\), откуда \(k=-3,25=-\dfrac{13}{4}\). Второй корень при этом допустим.

Ответ: \(k=-3\), \(k=3\) или \(k=-\dfrac{13}{4}\).