3. Постройте график функции \(y=\frac{9x+1}{9x^2+x}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

При \(x\ne 0\) и \(x\ne-\frac19\):

\[y=\frac{9x+1}{x(9x+1)}=\frac1x.\]

Значит, график — гипербола \(y=\frac1x\) с выколотой точкой \(\left(-\frac19;-9\right)\); также \(x=0\) не входит в область определения.

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(\frac1x=kx\), то есть \(kx^2=1\). При \(k\le0\) решений нет. При \(k>0\) есть две точки, кроме случая, когда одна из них совпадает с выколотой точкой. Для этого \(k\cdot\left(-\frac19\right)^2=1\), откуда \(k=81\). При таком значении отрицательный корень исключён из графика, а положительный остаётся.

Ответ: \(k=81\).