3. Постройте график функции \(y=-x^2-6x+7\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Преобразуем функцию, выделив полный квадрат:

\(y=-x^2-6x+7=-(x+3)^2+16\).

Это парабола с вершиной \((-3;16)\), ветви направлены вниз. Для построения можно отметить вершину и нули \((-7;0)\), \((1;0)\), а также симметричные точки \((-6;7)\) и \((0;7)\).

а) Квадратичная функция определена при всех действительных \(x\), а максимальное значение по вершине равно 16. Поэтому область определения — \(\mathbb{R}\), область значений — \((-\infty;16]\).

б) Нули находим из уравнения \(-(x+3)^2+16=0\): \((x+3)^2=16\), откуда \(x=-7\) или \(x=1\).

в) Парабола направлена вниз и пересекает ось \(x\) в точках −7 и 1. Следовательно, функция положительна при \(-7<x<1\), отрицательна при \(x<-7\) и \(x>1\).

г) До вершины функция возрастает, после вершины убывает: возрастает на \((-\infty;-3]\), убывает на \([-3;+\infty)\).

д) Наибольшее значение равно 16 при \(x=-3\). Наименьшего значения нет, так как при удалении от вершины вниз парабола не ограничена.

Ответ: область определения \(\mathbb{R}\); область значений \((-\infty;16]\); нули −7 и 1; положительна на \((-7;1)\), отрицательна на \((-\infty;-7)\cup(1;+\infty)\); возрастает на \((-\infty;-3]\), убывает на \([-3;+\infty)\); максимум 16, минимума нет.