3. Постройте треугольник АВС, если А(-1; 2), B(-2; -2), C(6; 1). Запишите координаты точек пересечения большей стороны этого треугольника с осями координат.

Решение:

Сначала построим треугольник по заданным координатам вершин.

Определим длины сторон треугольника:

• \( AB = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \)
• \( BC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(8)^2 + (3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \)
• \( AC = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \)

Сравним длины сторон: \( 17 50 73 \). Наибольшая сторона — \( BC \) (\( 73 \)).

Теперь найдём уравнения прямых, содержащих стороны треугольника, и точки их пересечения с осями координат.

1. Сторона AB:

• Уравнение прямой, проходящей через точки \( A(-1; 2) \) и \( B(-2; -2) \): \( \frac{x - (-1)}{-2 - (-1)} = \frac{y - 2}{-2 - 2} \) \( \Rightarrow \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 2}{-4} \) \( \Rightarrow -4(x + 1) = -1(y - 2) \) \( \Rightarrow -4x - 4 = -y + 2 \) \( \Rightarrow y = 4x + 6 \).
• Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = 4x + 6 \) \( \Rightarrow 4x = -6 \) \( \Rightarrow x = -1,5 \). Точка \( (-1,5; 0) \).
• Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = 4(0) + 6 \) \( \Rightarrow y = 6 \). Точка \( (0; 6) \).

2. Сторона BC:

• Уравнение прямой, проходящей через точки \( B(-2; -2) \) и \( C(6; 1) \): \( \frac{x - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{1 - (-2)} \) \( \Rightarrow \frac{x + 2}{8} = \frac{y + 2}{3} \) \( \Rightarrow 3(x + 2) = 8(y + 2) \) \( \Rightarrow 3x + 6 = 8y + 16 \) \( \Rightarrow 8y = 3x - 10 \) \( \Rightarrow y = \frac{3}{8}x - \frac{10}{8} = \frac{3}{8}x - \frac{5}{4} \).
• Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = \frac{3}{8}x - \frac{5}{4} \) \( \Rightarrow \frac{3}{8}x = \frac{5}{4} \) \( \Rightarrow x = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3} \). Точка \( (\frac{10}{3}; 0) \).
• Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = \frac{3}{8}(0) - \frac{5}{4} \) \( \Rightarrow y = -\frac{5}{4} \). Точка \( (0; -\frac{5}{4}) \).

3. Сторона AC:

• Уравнение прямой, проходящей через точки \( A(-1; 2) \) и \( C(6; 1) \): \( \frac{x - (-1)}{6 - (-1)} = \frac{y - 2}{1 - 2} \) \( \Rightarrow \frac{x + 1}{7} = \frac{y - 2}{-1} \) \( \Rightarrow -1(x + 1) = 7(y - 2) \) \( \Rightarrow -x - 1 = 7y - 14 \) \( \Rightarrow 7y = -x + 13 \) \( \Rightarrow y = -\frac{1}{7}x + \frac{13}{7} \).
• Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = -\frac{1}{7}x + \frac{13}{7} \) \( \Rightarrow \frac{1}{7}x = \frac{13}{7} \) \( \Rightarrow x = 13 \). Точка \( (13; 0) \).
• Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = -\frac{1}{7}(0) + \frac{13}{7} \) \( \Rightarrow y = \frac{13}{7} \). Точка \( (0; \frac{13}{7}) \).

Наибольшая сторона — \( BC \). Она пересекает ось Ox в точке \( (\frac{10}{3}; 0) \) и ось Oy в точке \( (0; -\frac{5}{4}) \).

Ответ: Точки пересечения большей стороны \( BC \) с осями координат: \( (\frac{10}{3}; 0) \) и \( (0; -\frac{5}{4}) \).