3. Практическая часть. 1. В треугольнике АВС <C = 60°, <В = 90°. Высота ВВ₁ = 2см. Найдите АB. 2. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC: Угол C = 60°, угол B = 90°, значит угол A = 180° - 90° - 60° = 30°. Высота BB₁ опущена из вершины B на гипотенузу AC. В прямоугольном треугольнике ABB₁: Угол A = 30°, угол BB₁A = 90°. $$ \angle ABB_1 = 180° - 90° - 30° = 60° $$. По условию BB₁ = 2 см. В треугольнике ABB₁: $$ \frac{AB}{\sin(\angle BB_1A)} = \frac{BB_1}{\sin(\angle A)} $$. $$ \frac{AB}{\sin(90°)} = \frac{2}{\sin(30°)} $$. $$ AB = \frac{2}{\sin(30°)} = \frac{2}{0.5} = 4 $$ см. Ответ: 4 см
2. В прямоугольном треугольнике DCE, угол C = 90°. EF — биссектриса угла E. Пусть ∠E = $$ \alpha $$. Тогда ∠D = $$ 90° - \alpha $$. ∠CEF = ∠DEF = $$ \alpha / 2 $$. В треугольнике EFC: $$ \angle EFC = 180° - \angle C - \angle CEF = 180° - 90° - \alpha / 2 = 90° - \alpha / 2 $$. По условию FC = 13 см. $$ \frac{FC}{\sin(\angle CEF)} = \frac{EC}{\sin(\angle EFC)} $$. $$ \frac{13}{\sin(\alpha / 2)} = \frac{EC}{\sin(90° - \alpha / 2)} $$. $$ EC = \frac{13 · \cos(\alpha / 2)}{\sin(\alpha / 2)} = 13 · \cot(\alpha / 2) $$. Расстояние от точки F до прямой DE — это длина перпендикуляра, опущенного из F на DE. Обозначим точку пересечения перпендикуляра с DE как H. FH — искомое расстояние. Так как EF — биссектриса, то точка F равноудалена от сторон углов DЕC (DE и CE). Следовательно, расстояние от F до DE равно расстоянию от F до CE. Расстояние от F до CE — это длина отрезка FC, так как FC перпендикулярно CE (угол C = 90°). FC = 13 см. Следовательно, расстояние от F до DE равно 13 см. Ответ: 13 см