3. Практическое задание (сделать самостоятельно). Решите уравнения и неравенство: 1) √(x+5) = 3; 2) √(2x−1) = x−2; 3) ∛(x−1) + x = 5; 4) √(3x+1) = x−1; 5) √(x²−5x+6) = x−1; 6) √(x+2) > x; 7) x − 3√(x−4) = 0.

1. Область определения: x ≥ −5. Возводим в квадрат: x + 5 = 9, поэтому x = 4. Проверка: √9 = 3.

2. Правая часть должна быть неотрицательной, значит x ≥ 2. Возводим в квадрат: 2x − 1 = (x − 2)², откуда x² − 6x + 5 = 0 и x = 1 или x = 5. Условию x ≥ 2 соответствует только x = 5; проверка подтверждает корень.

3. Функция ∛(x − 1) + x строго возрастает, поэтому решение не более чем одно. Положим t = 5 − x. Тогда t = ∛(x − 1) ≥ 0 и x = 5 − t; следовательно, t³ + t − 4 = 0. Левая часть строго возрастает, а её единственный действительный корень t ≈ 1.3788. Значит, x ≈ 3.6212. Точное решение можно записать как x = 5 − t, где t — единственный действительный корень t³ + t − 4 = 0.

4. Поскольку левая часть неотрицательна, необходимо x − 1 ≥ 0. Возводим в квадрат: 3x + 1 = (x − 1)², откуда x² − 5x = 0. Получаем x = 0 или x = 5; условию x ≥ 1 подходит только x = 5.

5. Требуется x − 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1. Возводим в квадрат: x² − 5x + 6 = (x − 1)², откуда −3x + 5 = 0 и x = 5/3. Это значение удовлетворяет исходному уравнению.

6. Область определения: x ≥ −2. При −2 ≤ x < 0 неравенство выполняется, поскольку √(x + 2) ≥ 0 > x. При x ≥ 0 обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат: x + 2 > x², то есть (x − 2)(x + 1) < 0. Отсюда 0 ≤ x < 2. Объединяя промежутки, получаем −2 ≤ x < 2.

7. Подкоренное выражение прочитано как x − 4: черта радикала охватывает x − 4. Область определения: x ≥ 4. Обозначим t = √(x − 4), где t ≥ 0; тогда x = t² + 4. Подстановка даёт t² + 4 − 3t = 0, или t² − 3t + 4 = 0. Дискриминант равен 9 − 16 = −7, поэтому действительных корней нет.

Ответ: 1) 4; 2) 5; 3) x ≈ 3.6212 (точное описание приведено выше); 4) 5; 5) 5/3; 6) [−2; 2); 7) решений нет.