3. Преобразуйте выражения: a) (1/6 * x^-4 * y^3)^-1 ; б) (3a^-4 / 2b^-3)^-2 * 10a^7b^3.

Решение:

а) Преобразуем первое выражение:

Когда выражение в скобках возводится в степень -1, это значит, что нужно взять обратную дробь от всего выражения. То есть, числитель и знаменатель меняются местами, а знак степени становится положительным (1).

$$ \left( \frac{1}{6} x^{-4} y^{3} \right)^{-1} $$

Сначала перевернем дробь внутри скобок:

$$ \left( \frac{6}{1} x^{4} y^{-3} \right)^{1} $$

Теперь возведем в степень 1. Это не меняет само выражение:

$$ 6 x^{4} y^{-3} $$

Также можно представить $$y^{-3}$$ как $$1/y^3$$, поэтому:

$$ \frac{6x^4}{y^3} $$

б) Преобразуем второе выражение:

Сначала разберемся с выражением в скобках, которое возводится в степень -2. Возведение в степень -2 означает, что нужно взять обратную дробь, а затем возвести в степень 2.

$$ \left( \frac{3a^{-4}}{2b^{-3}} \right)^{-2} $$

Перевернем дробь и изменим знак степени:

$$ \left( \frac{2b^{-3}}{3a^{-4}} \right)^{2} $$

Теперь возведем числитель и знаменатель в степень 2:

$$ \frac{(2b^{-3})^2}{(3a^{-4})^2} = \frac{2^2 (b^{-3})^2}{3^2 (a^{-4})^2} = \frac{4 b^{-6}}{9 a^{-8}} $$

Теперь используем свойство отрицательной степени $$x^{-n} = 1/x^n$$ и $$1/x^{-n} = x^n$$. Перенесем степени с отрицательным показателем в числитель или знаменатель, чтобы сделать показатель положительным:

$$ \frac{4 b^{-6}}{9 a^{-8}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{a^{8}}{b^{6}} $$

Теперь умножим это на вторую часть выражения $$10a^7b^3$$:

$$ \frac{4a^8}{9b^6} \times 10a^7b^3 $$

Перемножим числители и знаменатели:

$$ \frac{4a^8 \times 10a^7b^3}{9b^6} = \frac{40 a^{8+7} b^3}{9 b^6} = \frac{40 a^{15} b^3}{9 b^6} $$

Сократим степени $$b^3$$ и $$b^6$$:

$$ \frac{40 a^{15}}{9 b^{6-3}} = \frac{40 a^{15}}{9 b^{3}} $$

Итоговые ответы:

а) $$ \frac{6x^4}{y^3} $$

б) $$ \frac{40 a^{15}}{9 b^{3}} $$