3. При каких значениях переменной имеет смысл выражение: а) √(x² + 2) / ((x + 1) · √(x² + 1)); б) √(|x|/x + 4x²)?

а) Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатель — не равен нулю:

x² + 2 > 0 и x² + 1 > 0 при любых x. Поэтому ограничение задаёт знаменатель: x + 1 ≠ 0, то есть x ≠ −1.

Ответ: x ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).

б) В дроби должен быть ненулевой знаменатель, поэтому x ≠ 0. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\(\dfrac{|x|}{x}+4x^2\ge 0\).

Если x > 0, то \(\dfrac{|x|}{x}=1\), и неравенство \(1+4x^2\ge0\) выполняется при всех x > 0.

Если x < 0, то \(\dfrac{|x|}{x}=-1\), поэтому \(4x^2-1\ge0\). Отсюда \(x^2\ge\dfrac14\), то есть с учётом x < 0 получаем x ≤ −\(\dfrac12\).

Ответ: x ∈ (−∞; −\(\dfrac12\)] ∪ (0; +∞).