3. При каких значениях x имеет смысл выражение: а) \(\sqrt{(2x+5)(x-17)}\); б) \(\sqrt{x(x+9)(2x-8)}\)?

Квадратный корень из действительного числа имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.

а) Решаем неравенство \((2x+5)(x-17)\ge 0\). Нули множителей: \(x=-\frac{5}{2}\) и \(x=17\). Произведение неотрицательно вне промежутка между нулями, включая сами нули.

Следовательно, \(x\in\left(-\infty; -\frac{5}{2}\right]\cup[17; +\infty)\).

б) Решаем неравенство \(x(x+9)(2x-8)\ge 0\). Нули множителей: \(x=-9\), \(x=0\), \(x=4\). Знак произведения на промежутках: отрицательный при \(x<-9\), положительный при \(-9<x<0\), отрицательный при \(0<x<4\), положительный при \(x>4\). Нули также входят в решение.

Ответ: а) \(x\in\left(-\infty; -\frac{5}{2}\right]\cup[17; +\infty)\); б) \(x\in[-9;0]\cup[4; +\infty)\).