3. Прямая AK перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC, точка M — середина стороны BC. Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABC, если AK = 5√3 дм, BC = 10 дм.

Так как треугольник ABC равносторонний, медиана AM является также высотой.

В равностороннем треугольнике со стороной 10 дм:

\(AM=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\) дм.

Поскольку \(AK\perp (ABC)\), отрезок AM — проекция KM на плоскость ABC. Поэтому искомый угол равен углу \(KMA\) в прямоугольном треугольнике AKM.

Имеем:

\(AK=AM=5\sqrt{3}\) дм, следовательно, прямоугольный треугольник AKM равнобедренный, и \(\angle KMA=45^\circ\).

Ответ: \(45^\circ\).