3. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точке В. Найдите АВ, если ∠AOB = 60°, а г = 10√3 см.

Дано:

• Окружность с центром О, радиус r.
• Прямая АВ касается окружности в точке В.
• \[ \angle AOB = 60^{\circ} \]
• \[ r = 10\sqrt{3} \text{ см} \]

Найти:

• AB

Решение:

Так как прямая АВ касается окружности в точке В, то радиус OB перпендикулярен касательной АВ. Следовательно,

$$\angle OBA = 90^{\circ}$$

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник

$$\triangle OBA$$

.

У нас есть:

• $$\angle AOB = 60^{\circ}$$

  (дан угол)

• $$OB = r = 10\sqrt{3} \text{ см}$$

  (радиус, противолежащий углу

  $$\angle OAB$$

  )

В прямоугольном треугольнике

$$\triangle OBA$$

, сумма углов равна 180°, значит:

• $$\angle OAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$

  .

Сторона, противолежащая углу в 30°, равна половине гипотенузы. В нашем случае, OB (катет, противолежащий углу

$$\angle OAB$$

) равен половине гипотенузы OA. Значит:

• $$OA = 2 \cdot OB = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ см}$$

  .

Теперь, используя теорему Пифагора для

$$\triangle OBA$$

, найдем длину отрезка АВ:

• $$OA^2 = OB^2 + AB^2$$

• $$(20\sqrt{3})^2 = (10\sqrt{3})^2 + AB^2$$

• $$400 \cdot 3 = 100 \cdot 3 + AB^2$$

• $$1200 = 300 + AB^2$$

• $$AB^2 = 1200 - 300 = 900$$

• $$AB = \sqrt{900} = 30 \text{ см}$$

  .

Ответ: 30 см