3. Прямая m имеет с непересекающимися прямыми a и b две общие точки. Докажите, что эти три прямые расположены в одной плоскости.

Пусть прямая m пересекает прямые a и b в точках A и B соответственно. Поскольку прямые a и b не пересекаются, A и B различны.

1. Прямые m и a, пересекающиеся в точке A, определяют плоскость α.
2. Точка B принадлежит m, а значит, лежит в α. Также B принадлежит b.
3. Точка A лежит в α и принадлежит b: ведь A — точка пересечения m и a, но из этого не следует, что A принадлежит b. Вместо этого используем факт, что b пересекает m в B, а a и b не имеют общих точек: приведённых условий недостаточно, чтобы доказать, что b лежит в α.

В самом деле, формулировка неоднозначна: если «имеет с ... две общие точки» означает, что m имеет ровно две общие точки с объединением прямых a и b, то одна из них может принадлежать каждой прямой, но из этого не следует, что a и b расположены в одной плоскости с m. Для доказательства требуется дополнительное условие, например, что m пересекает каждую из a и b и точки пересечения различны. Даже тогда две пересекающиеся с m прямые не обязаны лежать в одной плоскости с ней: их точки пересечения с m задают плоскость вместе с m только если обе прямые проходят через одну и ту же точку либо есть иное условие. Поэтому утверждение в приведённом виде неверно.

Контрпример: возьмём m как ось z, a как прямую через (0,0,0) с направлением (1,0,0), а b как прямую через (0,0,1) с направлением (0,1,0). Прямые a и b не пересекаются; m пересекает каждую, но все три не лежат в одной плоскости.

Ответ: утверждение неверно без дополнительного условия; приведённый контрпример показывает это.