3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает AB и BC в точках M и N. Найдите AC, если MN=4, а площади треугольников ABC и MNB равны 81 и 9 соответственно.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Так как MN ∥ AC, треугольники MNB и ABC подобны.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=\frac{9}{81}=\frac{1}{9}.\]

Поэтому коэффициент подобия равен:

\[\frac{MN}{AC}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}.\]

Подставим \(MN=4\):

\[\frac{4}{AC}=\frac{1}{3},\quad AC=12.\]

Ответ: 12.