3. Прямая пересекает диагональ BD параллелограмма ABCD в точке E, а его стороны AB и CD — в точках M и K соответственно, причём ME = KE. Докажите, что четырёхугольник BKDM — параллелограмм.

Так как ABCD — параллелограмм, то AB ∥ CD. Поэтому ∠EBM = ∠EDK. Углы BEM и DEK — вертикальные, значит, треугольники EBM и EDK подобны по двум углам.

Из подобия следует, что \(\frac{EM}{EK}=\frac{EB}{ED}=\frac{BM}{DK}\). По условию EM = EK, следовательно, коэффициент подобия равен 1 и EB = ED. Значит, E — середина диагонали BD. Также по условию E — середина отрезка MK.

В четырёхугольнике BKDM диагонали BD и KM пересекаются в точке E и делятся этой точкой пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам в точке пересечения, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, BKDM — параллелограмм.