3. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О радиусом 8 см, В и С — точки касания. Найдите отрезки АВ и АС, если: 1) ∠BAC = 60°; 2) ∠BAC = 48°.

Решение:

Дано: Окружность с центром О, радиус \( r = 8 \) см. \( AB \) и \( AC \) — касательные. \( B \) и \( C \) — точки касания.

Найти: \( AB \), \( AC \).

1) Если \( \angle BAC = 60^{\circ} \):

1. Треугольник \( \triangle ABC \) — равнобедренный, так как \( AB = AC \) (свойство касательных, проведённых из одной точки).
2. \( OA \) — биссектриса \( \angle BAC \) и высота \( \triangle ABC \).
3. \( \angle BAO = \angle CAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
4. В прямоугольном \( \triangle ABO \) (так как \( OB \perp AB \)), \( OB = r = 8 \) см.
5. \( OB \) — катет, противолежащий углу \( \angle BAO = 30^{\circ} \).
6. Используем тангенс угла: \( \tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AB} \)
7. \( \tan(30^{\circ}) = \frac{8}{AB} \)
8. \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{AB} \)
9. \( AB = 8\sqrt{3} \) см.
10. Так как \( AB = AC \), то \( AC = 8\sqrt{3} \) см.

2) Если \( \angle BAC = 48^{\circ} \):

1. Аналогично, \( \angle BAO = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 48^{\circ} = 24^{\circ} \).
2. В прямоугольном \( \triangle ABO \), \( OB = r = 8 \) см.
3. Используем тангенс угла: \( \tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AB} \)
4. \( \tan(24^{\circ}) = \frac{8}{AB} \)
5. \( AB = \frac{8}{\tan(24^{\circ})} \) см.
6. Так как \( AB = AC \), то \( AC = \frac{8}{\tan(24^{\circ})} \) см.

Ответ: 1) \( AB = AC = 8\sqrt{3} \) см. 2) \( AB = AC = \frac{8}{\tan(24^{\circ})} \) см.