3. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите отрезок ВС, если ∠OAB = 30°, AB = 5 см.

Решение:

Поскольку АВ является касательной к окружности в точке В, радиус ОВ перпендикулярен касательной. Следовательно, \(\angle OBA = 90^{\circ}\).

В треугольнике \(\triangle OAB\):

1. \(\angle OAB = 30^{\circ}\) (дано).
2. \(\angle OBA = 90^{\circ}\) (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной).
3. \(\angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\) (сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\)).

Так как АС также является касательной, а АВ = 5 см, то АС = 5 см.

Треугольник \(\triangle ABC\) является равнобедренным, так как АВ = АС.

Рассмотрим \(\triangle ABC\).

У нас есть \(\angle OAB = 30^{\circ}\).

Так как \(\triangle OAB\) — прямоугольный, то \(\tan(\angle OAB) = \frac{OB}{AB}\).

\(\tan(30^{\circ}) = \frac{OB}{5}\).

\(OB = 5 \cdot \tan(30^{\circ}) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) см (это радиус окружности).

В \(\triangle ABC\):

1. \(AB = AC = 5\) см (отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны).
2. \(\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC\). Поскольку \(\triangle OAB\) и \(\triangle OAC\) равны (по гипотенузе и катету), то \(\angle OAB = \angle OAC = 30^{\circ}\).
3. \(\angle BAC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

Поскольку \(\triangle ABC\) — равнобедренный с углом при вершине \(60^{\circ}\), то он является равносторонним. Следовательно, \(AB = AC = BC = 5\) см.

Альтернативный способ (через \(\triangle OBC\)):

В \(\triangle OBC\):

1. \(OB = OC = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) (радиусы).
2. \(\angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB - \angle AOC\). Поскольку \(\angle AOB = 60^{\circ}\) и \(\angle AOC = 60^{\circ}\), то \(\angle BOC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}\).

Так как \(\triangle OBC\) — равнобедренный с углом при вершине \(60^{\circ}\), он является равносторонним. Следовательно, \(BC = OB = OC = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.

Объяснение:

В данном случае, поскольку \(\angle OAB = 30^{\circ}\), а \(\triangle OAB\) прямоугольный, то \(\angle AOB = 60^{\circ}\). Аналогично \(\angle AOC = 60^{\circ}\). Угол \(\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\). Так как \(AB = AC = 5\) см (свойство касательных), то \(\triangle ABC\) — равнобедренный треугольник с углом при вершине \(60^{\circ}\), что делает его равносторонним. Значит, \(BC = 5\) см.

Ответ: 5 см.