3. Пусть теперь две точки A и B принадлежат α, а остальные 8 точек находятся в β (рис. 16). Все 8 отрезков, соединяющих точку A с точками в полуплоскости β, по аксиоме пересекут прямую l. И столько же отрезков, пересекающих l, будет выходить из точки B. Все остальные отрезки между данными точками пересекать прямую l не будут. Значит, в этом случае прямую l пересекут ровно 16 отрезков.

Из каждой из двух точек полуплоскости α проведено по 8 отрезков к точкам полуплоскости β. Каждый из этих отрезков пересекает прямую l.

В точности эти 16 отрезков пересекают l; остальные отрезки соединяют точки одной полуплоскости и прямую l не пересекают.

Ответ: 16 отрезков.