3 Расчетно-графическая работа Задание 1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F1; F2; F3. Площади поперечных сечений А1 и А2. Принять E = 2*105 Н/мм².

Решение:

Для решения задачи необходимо построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений для каждого варианта. Перемещение свободного конца бруса будет рассчитано как сумма перемещений отдельных участков.

Вариант 1

Эпюры продольных сил

Расчет продольных сил ведется от свободного конца бруса.

Участок 1 (слева):

Сила \( F_3 \) приложена слева. Направление сил на эпюре может варьироваться в зависимости от принятой системы координат. Для данного примера, будем считать силы, направленные вправо, положительными.

\( N_1 = -F_3 = -5 \) кН.

Участок 2 (середина):

\( N_2 = -F_3 - F_2 = -5 - 10 = -15 \) кН.

Участок 3 (справа):

\( N_3 = -F_3 - F_2 - F_1 = -5 - 10 - 20 = -35 \) кН.

Эпюры нормальных напряжений

Нормальные напряжения \( \sigma \) определяются как \( \sigma = \frac{N}{A} \).

Участок 1:

\( \sigma_1 = \frac{-5 \text{ кН}}{1.8 \text{ см}^2} \approx -2.78 \text{ МПа} \)

Участок 2:

\( \sigma_2 = \frac{-15 \text{ кН}}{3.2 \text{ см}^2} \approx -4.69 \text{ МПа} \)

Участок 3:

\( \sigma_3 = \frac{-35 \text{ кН}}{?} \)

Примечание: Для участка 3 не указана площадь поперечного сечения \( A_1 \) в варианте 1. Предполагается, что \( A_1 \) и \( A_2 \) являются площадями для разных участков. В данном случае, \( A_1 = 1.8 \text{ см}^2 \) и \( A_2 = 3.2 \text{ см}^2 \). Принимаем, что \( A_2 \) соответствует первому участку, а \( A_1 \) — второму.

Участок 1 (с площадью \( A_2 = 3.2 \text{ см}^2 \)):

\( \sigma_1 = \frac{-5 \text{ кН}}{3.2 \text{ см}^2} \approx -1.56 \text{ МПа} \)

Участок 2 (с площадью \( A_1 = 1.8 \text{ см}^2 \)):

\( \sigma_2 = \frac{-15 \text{ кН}}{1.8 \text{ см}^2} \approx -8.33 \text{ МПа} \)

Участок 3 (с площадью \( A_1 = 1.8 \text{ см}^2 \)):

\( \sigma_3 = \frac{-35 \text{ кН}}{1.8 \text{ см}^2} \approx -19.44 \text{ МПа} \)

Перемещение свободного конца

Перемещение \( \Delta l \) на каждом участке вычисляется по формуле \( \Delta l = \frac{N \cdot l}{A \cdot E} \). Здесь \( l \) — длина участка. Длины участков определяются через \( a \). В варианте 1, \( a = 0.2 \text{ м} \).

Участок 1 (длина \( a = 0.2 \text{ м} \), \( A = A_2 = 3.2 \text{ см}^2 = 3.2 \times 10^{-4} \text{ м}^2 \), \( E = 2 \times 10^5 \text{ Н/мм}^2 = 2 \times 10^{11} \text{ Па} \)):

\( \Delta l_1 = \frac{-5 \times 10^3 \text{ Н} \times 0.2 \text{ м}}{3.2 \times 10^{-4} \text{ м}^2 \times 2 \times 10^{11} \text{ Па}} \approx -0.00156 \text{ м} \)

Участок 2 (длина \( a = 0.2 \text{ м} \), \( A = A_1 = 1.8 \text{ см}^2 = 1.8 \times 10^{-4} \text{ м}^2 \)):

\( \Delta l_2 = \frac{-15 \times 10^3 \text{ Н} \times 0.2 \text{ м}}{1.8 \times 10^{-4} \text{ м}^2 \times 2 \times 10^{11} \text{ Па}} \approx -0.00833 \text{ м} \)

Участок 3 (длина \( 2a = 0.4 \text{ м} \), \( A = A_1 = 1.8 \text{ см}^2 \)):

\( \Delta l_3 = \frac{-35 \times 10^3 \text{ Н} \times 0.4 \text{ м}}{1.8 \times 10^{-4} \text{ м}^2 \times 2 \times 10^{11} \text{ Па}} \approx -0.03889 \text{ м} \)

Общее перемещение свободного конца: \( \Delta L = \Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 \approx -0.00156 - 0.00833 - 0.03889 = -0.04878 \text{ м} \). Знак минус означает сжатие.

Процесс решения для других вариантов

Для каждого варианта необходимо повторить следующие шаги:

1. Определить силы: Из таблицы выбрать значения \( F_1, F_2, F_3 \) для соответствующего варианта.
2. Определить площади: Из таблицы выбрать значения \( A_1, A_2 \).
3. Определить длину участка: Из таблицы выбрать значение \( a \).
4. Рассчитать продольные силы: Построить эпюру продольных сил, суммируя силы слева направо (или справа налево).
5. Рассчитать нормальные напряжения: Поделить значения продольных сил на соответствующие площади поперечных сечений.
6. Рассчитать перемещения: Рассчитать перемещение для каждого участка по формуле \( \Delta l = \frac{N \cdot l}{A \cdot E} \) и просуммировать их для получения общего перемещения свободного конца.

Пример расчета для варианта 10:

• \( F_1 = 28 \text{ кН}, F_2 = 14 \text{ кН}, F_3 = 5 \text{ кН} \)
• \( A_1 = 1.9 \text{ см}^2, A_2 = 2.4 \text{ см}^2 \)
• \( a = 0.6 \text{ м} \)
• Силы: \( N_{A2} = -F_3 = -5 \text{ кН} \), \( N_{A1} = -F_3 - F_2 = -5 - 14 = -19 \text{ кН} \), \( N_{свободного конца} = -F_3 - F_2 - F_1 = -5 - 14 - 28 = -47 \text{ кН} \)
• Напряжения: \( \sigma_{A2} = \frac{-5 \text{ кН}}{2.4 \text{ см}^2} \approx -2.08 \text{ МПа} \)
• \( \sigma_{A1} = \frac{-19 \text{ кН}}{1.9 \text{ см}^2} \approx -10 \text{ МПа} \)
• \( \sigma_{свободного конца} = \frac{-47 \text{ кН}}{1.9 \text{ см}^2} \approx -24.74 \text{ МПа} \)
• Перемещения:
• \( \Delta l_{A2} = \frac{-5 \times 10^3 \times 0.6}{2.4 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} \approx -0.00625 \text{ м} \)
• \( \Delta l_{A1} = \frac{-19 \times 10^3 \times 0.6}{1.9 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} \approx -0.03 \text{ м} \)
• \( \Delta l_{свободного конца} = \frac{-47 \times 10^3 \times 1.2}{1.9 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} \approx -0.14868 \text{ м} \)
• Общее перемещение: \( \Delta L = -0.00625 - 0.03 - 0.14868 = -0.18493 \text{ м} \)

Примечание: В задачах подразумевается построение эпюр, что требует графического представления. Здесь представлен только расчет основных величин.