Ответ:

  1. Сегодня мы закончим работу раньше. Грамматическая основа: мы закончим. «Сегодня» — наречие, обстоятельство времени; не подлежащее, потому что не называет того, о ком говорится в предложении.
  2. Ребята громко крикнули «ура». Грамматическая основа: ребята крикнули. «Ура» — междометие, употреблённое как название выкрика; дополнение (крикнули что?). Это не подлежащее, поскольку уже есть подлежащее «ребята».
  3. Он ответил решительное «нет». Грамматическая основа: он ответил. «Нет» — частица, употреблённая как название ответа; вместе с зависимым словом «решительное» входит в дополнение «решительное “нет”» (ответил что?). Не подлежащее, поскольку подлежащее — «он».
  4. Завтра начнутся соревнования. Грамматическая основа: соревнования начнутся. «Завтра» — наречие, обстоятельство времени. Оно не подлежащее: подлежащее отвечает на вопрос «что начнётся?» — соревнования.