3. Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал обратно с той же скоростью. Через сколько часов после начала движения они встретятся во второй раз?

Решение:

1. Первая встреча:
Скорость сближения велосипедистов равна сумме их скоростей: \( 10 \text{ км/ч} + 8 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч} \).
Расстояние между пунктами равно 12 км.
Время до первой встречи: \( t_1 = \frac{12 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3} \text{ часа} \).

2. Путь после первой встречи:
После первой встречи каждый велосипедист проехал половину расстояния, то есть \( 12 \text{ км} / 2 = 6 \text{ км} \) до другого пункта.
Затем они повернули обратно. Теперь им нужно снова проехать расстояние, которое они успели преодолеть после первой встречи, чтобы встретиться второй раз.

3. Расчёт времени до второй встречи:
Велосипедист 1 (10 км/ч) проехал 6 км.
Велосипедист 2 (8 км/ч) проехал 6 км.
Общее расстояние, которое им нужно проехать для второй встречи, равно \( 6 \text{ км} + 6 \text{ км} = 12 \text{ км} \).
Но они движутся навстречу друг другу, и теперь их суммарное расстояние, которое им нужно «покрыть» друг другу, учитывая, что они уже преодолели по 6 км после первой встречи, равно тому расстоянию, которое они проехали вместе ДО первой встречи, но в обратном направлении. После первой встречи они оказались на расстоянии 0 км друг от друга. Каждый едет к другому пункту (6 км).
После первой встречи, они должны проехать вместе расстояние, равное удвоенному пути, который они прошли до первого пункта. То есть \( 6 \text{ км} + 6 \text{ км} = 12 \text{ км} \) до пунктов назначения. Но они встретятся еще раз ДО достижения пунктов назначения.
Рассмотрим движение от точки первой встречи. Каждый едет к своему первоначальному пункту отправления (или к другому пункту, что эквивалентно).
Расстояние, которое им нужно проехать навстречу друг другу, чтобы встретиться второй раз, равно удвоенному расстоянию от точки первой встречи до одного из пунктов, т.е. \( 2 \times 6 \text{ км} = 12 \text{ км} \).
Скорость сближения на этом этапе также равна \( 10 \text{ км/ч} + 8 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч} \).
Время до второй встречи (от момента первой встречи) \( t_{2-1} = \frac{12 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3} \text{ часа} \>.

4. Общее время до второй встречи:
Общее время = время до первой встречи + время между первой и второй встречей.
\( T = t_1 + t_{2-1} = \frac{2}{3} \text{ часа} + \frac{2}{3} \text{ часа} = \frac{4}{3} \text{ часа} \>.
\( \frac{4}{3} \text{ часа} = 1 \frac{1}{3} \text{ часа} \>.

Ответ: \( \frac{4}{3} \) часа или \( 1 \frac{1}{3} \) часа.