3. Расстояние между пристанями A и B равно 80 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Скорость плота равна скорости течения, то есть 2 км/ч. Время, за которое плот прошёл 22 км: \(22:2=11\) ч.

Яхта вышла на 2 часа позже плота, поэтому на путь туда и обратно она потратила \(11-2=9\) ч.

Пусть \(v\) — скорость яхты в неподвижной воде. Тогда её скорость по течению — \(v+2\), а против течения — \(v-2\) км/ч. Составим уравнение по времени пути:

\(\frac{80}{v+2}+\frac{80}{v-2}=9\).

Умножим на \(v^2-4\): \(80(v-2)+80(v+2)=9(v^2-4)\).

Получаем \(160v=9v^2-36\), то есть \(9v^2-160v-36=0\).

\(D=160^2+4\cdot9\cdot36=26896=164^2\). Тогда \(v=\frac{160\pm164}{18}\). Отрицательный корень не подходит, поскольку скорость положительна и должна быть больше скорости течения.

Ответ: 18 км/ч.