3. Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке O так, что AO = CO. Прямые AD и BC пересекаются в точке M. Докажите, что MD = MB.

Так как отрезки AB и CD равны, а AO = CO, то после вычитания равных частей получаем BO = DO.

Рассмотрим треугольники AOD и COB. Имеем AO = CO, DO = BO, а углы AOD и COB равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: угол между AD и AB равен углу между CB и CD, а угол между AB и BC равен углу между CD и DA. Поэтому треугольники MAB и MCD подобны. При этом AB = CD, значит, коэффициент подобия равен 1, и соответствующие стороны MB и MD равны.

Ответ: MD = MB.