3. Разложите на множители: a) 3a² - 9ab; б) x³ - 25x.

Задание 3. Разложение на множители

Привет! Давай разложим эти выражения на множители. Это как будто распаковать коробку и посмотреть, из чего она состоит.

а) 3a² - 9ab

Смотри, в этом выражении есть общие множители. Число 3 и 9 делятся на 3. Буква 'a' есть и в первом, и во втором слагаемом. А вот 'b' есть только во втором.

Значит, общий множитель у нас будет 3a.

Теперь выносим его за скобки:

1. Делим первое слагаемое 3a² на 3a:
   (3a²) / (3a) = a
2. Делим второе слагаемое -9ab на 3a:
   (-9ab) / (3a) = -3b

Получаем:

\( 3a^2 - 9ab = 3a(a - 3b) \)

Проверка: Если мы раскроем скобки, умножив 3a на (a - 3b), получим исходное выражение: \( 3a · a - 3a · 3b = 3a^2 - 9ab \). Всё верно!

Ответ: 3a(a - 3b)

б) x³ - 25x

Здесь тоже есть общий множитель. Оба слагаемых содержат букву 'x'.

Выносим 'x' за скобки:

1. Делим первое слагаемое x³ на x:
   (x³) / (x) = x²
2. Делим второе слагаемое -25x на x:
   (-25x) / (x) = -25

Получаем:

\( x^3 - 25x = x(x^2 - 25) \)

Но это ещё не всё! Обрати внимание на выражение в скобках: x² - 25. Это похоже на формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

Здесь \( a = x \) и \( b = 5 \) (потому что \( 5^2 = 25 \)).

Значит, \( x^2 - 25 \) можно разложить как:

\( (x - 5)(x + 5) \)

Теперь подставляем это обратно:

\( x(x^2 - 25) = x(x - 5)(x + 5) \)

Проверка: Раскроем скобки: \( x(x - 5)(x + 5) = x(x^2 + 5x - 5x - 25) = x(x^2 - 25) = x^3 - 25x \). Отлично!

Ответ: x(x - 5)(x + 5)