3. Разложите на множители: a) x² - 1; б) y² - 16; в) a² - c²; г) 25 - b²; д) 144 - y²; e) 4c² - 9; ж) 100 – 9b²; 3) 1 – 0,25c²; и) a²b² – 4; к) c²d² – 81x²; л) (1/2)x²z² – a²; м) (4/25)a² – 9b²c²;

Привет! Давай разложим эти выражения на множители. Это как будто разобрать конструктор на отдельные детальки. Будем использовать формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

Левая колонка:

• а) $$x^2 - 1$$. Здесь $$a=x$$ и $$b=1$$. Получаем: $$ (x - 1)(x + 1) $$.
• б) $$y^2 - 16$$. Тут $$a=y$$ и $$b=4$$ (потому что $$4^2 = 16$$). Получаем: $$ (y - 4)(y + 4) $$.
• в) $$a^2 - c^2$$. Это классика! $$ (a - c)(a + c) $$.
• г) $$25 - b^2$$. Здесь $$a=5$$ (потому что $$5^2 = 25$$) и $$b=b$$. Получаем: $$ (5 - b)(5 + b) $$.
• д) $$144 - y^2$$. Здесь $$a=12$$ (потому что $$12^2 = 144$$) и $$b=y$$. Получаем: $$ (12 - y)(12 + y) $$.
• е) $$4c^2 - 9$$. Это тоже разность квадратов! $$a = 2c$$ (потому что $$(2c)^2 = 4c^2$$) и $$b = 3$$ (потому что $$3^2 = 9$$). Получаем: $$ (2c - 3)(2c + 3) $$.

Правая колонка:

• ж) $$100 - 9b^2$$. Здесь $$a=10$$ и $$b=3b$$ (потому что $$(3b)^2 = 9b^2$$). Получаем: $$ (10 - 3b)(10 + 3b) $$.
• 3) $$1 - 0.25c^2$$. Здесь $$a=1$$ и $$b=0.5c$$ (потому что $$(0.5c)^2 = 0.25c^2$$). Получаем: $$ (1 - 0.5c)(1 + 0.5c) $$.
• и) $$a^2b^2 - 4$$. Здесь $$a=ab$$ и $$b=2$$. Получаем: $$ (ab - 2)(ab + 2) $$.
• к) $$c^2d^2 - 81x^2$$. Здесь $$a=cd$$ и $$b=9x$$. Получаем: $$ (cd - 9x)(cd + 9x) $$.
• л) $$ \frac{1}{2}x^2z^2 - a^2 $$. Здесь $$a=\frac{x z}{\sqrt{2}}$$ (или $$x z \frac{\sqrt{2}}{2}$$) и $$b=a$$. Это немного сложнее, так как $$\frac{1}{2}$$ не является квадратом целого числа. Если нужно разложить строго на множители с рациональными коэффициентами, то это будет: $$ \left( \frac{x z}{\sqrt{2}} - a \right) \left( \frac{x z}{\sqrt{2}} + a \right) $$. Часто в таких случаях ожидается разложение с использованием корней, как показано. Если же предполагалось $$\frac{1}{4}$$, то ответ был бы $$ (\frac{1}{2}xz - a)(\frac{1}{2}xz + a) $$. Будем считать, что корни допустимы.
• м) $$ \frac{4}{25}a^2 - 9b^2c^2 $$. Здесь $$a=\frac{2}{5}a$$ и $$b=3bc$$. Получаем: $$ (\frac{2}{5}a - 3bc)(\frac{2}{5}a + 3bc) $$.