3. Реши уравнение. $$ \frac{x^2-2x}{x+4} = \frac{3}{x+4} $$

Решение:

Для решения уравнения \( \frac{x^2-2x}{x+4} = \frac{3}{x+4} \), сначала приведём его к общему знаменателю. Заметим, что \( x \neq -4 \), чтобы знаменатель не был равен нулю.

1. Вычтем \( \frac{3}{x+4} \) из обеих частей уравнения: \[ \frac{x^2-2x}{x+4} - \frac{3}{x+4} = 0 \]
2. Объединим дроби, так как знаменатели одинаковые: \[ \frac{x^2-2x-3}{x+4} = 0 \]
3. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, нам нужно решить уравнение: \[ x^2-2x-3 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
6. Проверим, что корни не равны \( -4 \). Оба корня \( 3 \) и \( -1 \) не равны \( -4 \), поэтому они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: x₁ = 3, x₂ = -1.