3. Решить д. у.: a)y" + 6y' + 25y = 0, b)y" – 2y' – 15y = 0, c)9y" + 6y' + y = 0.

Решение:

Для решения данных дифференциальных уравнений второго порядка вида \( ay'' + by' + cy = 0 \) необходимо найти корни характеристического уравнения \( ar^2 + br + c = 0 \).

a) \( y'' + 6y' + 25y = 0 \)

1. Характеристическое уравнение: \( r^2 + 6r + 25 = 0 \).
2. Находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64 \).
3. Так как \( D < 0 \), корни комплексные: \( r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{-64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 8i}{2} = -3 \pm 4i \).
4. Общее решение имеет вид: \( y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \), где \( \alpha = -3 \) и \( \beta = 4 \).

Ответ: \( y = e^{-3x} (C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)) \).

b) \( y'' - 2y' - 15y = 0 \)

1. Характеристическое уравнение: \( r^2 - 2r - 15 = 0 \).
2. Находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \).
3. Так как \( D > 0 \), корни действительные: \( r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2} \).
4. \( r_1 = \frac{2+8}{2} = 5 \), \( r_2 = \frac{2-8}{2} = -3 \).
5. Общее решение имеет вид: \( y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \).

Ответ: \( y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-3x} \).

c) \( 9y'' + 6y' + y = 0 \)

1. Характеристическое уравнение: \( 9r^2 + 6r + 1 = 0 \).
2. Находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0 \).
3. Так как \( D = 0 \), корень действительный один (кратности 2): \( r = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 9} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3} \).
4. Общее решение имеет вид: \( y = (C_1 + C_2 x) e^{rx} \).

Ответ: \( y = (C_1 + C_2 x) e^{-\frac{1}{3}x} \).