3. Решить неравенства: а) \(\left(\frac{8}{9}\right)^x>1\frac{1}{8}\); б) \(10^x>\frac{1}{1000}\); в) \(\log_3(x-1)<1\); г) \(\lg x+\lg(x-3)>1\).

1. Преобразуем смешанное число: \(1\frac{1}{8}=\frac{9}{8}=\left(\frac{8}{9}\right)^{-1}\). Поскольку основание \(\frac{8}{9}\) находится между 0 и 1, функция убывает, поэтому знак неравенства при сравнении показателей меняется:

   \(x<-1\).

2. Представим правую часть как степень десяти: \(\frac{1}{1000}=10^{-3}\). Функция \(10^x\) возрастает, поэтому:

   \(x>-3\).

3. Область определения: \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Основание логарифма больше 1, поэтому:

   \(x-1<3^1=3\), откуда \(x<4\).

   С учётом области определения: \(1<x<4\).

4. Область определения: \(x>0\) и \(x-3>0\), значит, \(x>3\). Объединим логарифмы:

   \(\lg\bigl(x(x-3)\bigr)>1\), поэтому \(x(x-3)>10\).

   Решаем квадратное неравенство: \(x^2-3x-10>0\), \((x-5)(x+2)>0\). Отсюда \(x<-2\) или \(x>5\). С учётом области определения остаётся \(x>5\).

Ответ: а) \(x<-1\); б) \(x>-3\); в) \(x\in(1;4)\); г) \(x\in(5;+\infty)\).