3) Решить неравенства: а) lg x + 0,5 lg 16 < lg 80 − lg 2; б) log₂(1 − 3x) ≤ 2; в) log₀,₂₅(3x − 5) > −3.

а)

ОДЗ: \(x>0\).

Преобразуем левую часть: \(0{,}5\lg 16=\lg\sqrt{16}=\lg4\).

Тогда \(\lg x+\lg4<\lg80-\lg2\), то есть \(\lg(4x)<\lg40\).

Функция \(\lg x\) возрастает, поэтому \(4x<40\), откуда \(x<10\).

С учётом ОДЗ: \(x\in(0;10)\).

б)

ОДЗ: \(1-3x>0\), поэтому \(x<\frac13\).

Так как основание \(2>1\), логарифмическая функция возрастает:

\(\log_2(1-3x)\le2\Longleftrightarrow 1-3x\le2^2=4\).

Отсюда \(-3x\le3\), то есть \(x\ge-1\).

Объединяем с ОДЗ: \(x\in\left[-1;\frac13\right)\).

в)

ОДЗ: \(3x-5>0\), поэтому \(x>\frac53\).

Так как \(0<0{,}25<1\), функция убывает, поэтому знак неравенства меняется:

\(\log_{0{,}25}(3x-5)>-3\Longleftrightarrow 3x-5<(0{,}25)^{-3}=64\).

Отсюда \(3x<69\), то есть \(x<23\).

С учётом ОДЗ: \(x\in\left(\frac53;23\right)\).

Ответ: а) \(x\in(0;10)\); б) \(x\in\left[-1;\frac13\right)\); в) \(x\in\left(\frac53;23\right)\).