3) Решить систему: \(\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=10,\\ \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}=4.\end{cases}\)

Поскольку присутствуют четвёртые корни, \(x\ge 0\) и \(y\ge 0\).

1. Обозначим \(a=\sqrt[4]{x}\), \(b=\sqrt[4]{y}\). Тогда \(a,b\ge 0\), \(a^2=\sqrt{x}\), \(b^2=\sqrt{y}\), а система принимает вид \(a^2+b^2=10\), \(a+b=4\).

2. Возведём сумму во второй степени: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Подставляя известные значения, получаем \(16=10+2ab\), откуда \(ab=3\).

3. Числа \(a,b\) — корни уравнения \(t^2-4t+3=0\), то есть \((t-1)(t-3)=0\). Поэтому \((a,b)=(1,3)\) или \((3,1)\).

4. Возвращаясь к переменным, получаем \((x,y)=(1^4,3^4)=(1,81)\) или \((81,1)\). В обеих парах исходные суммы равны 10 и 4 соответственно.

Ответ: \((1,81)\), \((81,1)\).