3. Решить систему уравнений: x²+6xy-7y² = 0. x²+y²+2xy= 36.

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} x^2 + 6xy - 7y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 + 2xy = 36 \end{cases} \)

1. Решим первое уравнение:
• Это однородное уравнение. Разделим обе части на \( y^2 \) (при условии, что \( y \neq 0 \)):
• \( \frac{x^2}{y^2} + \frac{6xy}{y^2} - \frac{7y^2}{y^2} = 0 \)
• \( \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 6\left(\frac{x}{y}\right) - 7 = 0 \)
• Пусть \( t = \frac{x}{y} \). Тогда уравнение примет вид:
• \( t^2 + 6t - 7 = 0 \)
• Найдем корни квадратного уравнения:
• \( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \)
• \( t_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \)
• \( t_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7 \)
• Значит, \( \frac{x}{y} = 1 \) или \( \frac{x}{y} = -7 \).
• Из \( \frac{x}{y} = 1 \) следует \( x = y \).
• Из \( \frac{x}{y} = -7 \) следует \( x = -7y \).
2. Подставим полученные соотношения во второе уравнение \( x^2 + y^2 + 2xy = 36 \):
• Случай 1: \( x = y \)
• \( y^2 + y^2 + 2(y)(y) = 36 \)
• \( y^2 + y^2 + 2y^2 = 36 \)
• \( 4y^2 = 36 \)
• \( y^2 = 9 \)
• \( y = ± 3 \)
• Если \( y = 3 \), то \( x = 3 \). Решение: (3; 3).
• Если \( y = -3 \), то \( x = -3 \). Решение: (-3; -3).
• Случай 2: \( x = -7y \)
• \( (-7y)^2 + y^2 + 2(-7y)(y) = 36 \)
• \( 49y^2 + y^2 - 14y^2 = 36 \)
• \( 36y^2 = 36 \)
• \( y^2 = 1 \)
• \( y = ± 1 \)
• Если \( y = 1 \), то \( x = -7(1) = -7 \). Решение: (-7; 1).
• Если \( y = -1 \), то \( x = -7(-1) = 7 \). Решение: (7; -1).

Ответ: (3; 3), (-3; -3), (-7; 1), (7; -1).