3. Решить уравнение: 35^{4x+2} = 5^{3x+4} \(\cdot\) 7^{5x}

Решение:

Данное уравнение имеет вид:

\( 35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x} \)

Представим основание 35 как произведение 5 и 7:

\( (5 \cdot 7)^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x} \)

Используем свойство степеней \( (a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m \):

\( 5^{4x+2} \cdot 7^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x} \)

Разделим обе части уравнения на \( 5^{3x+4} \) и \( 7^{4x+2} \):

\( \frac{5^{4x+2}}{5^{3x+4}} = \frac{7^{5x}}{7^{4x+2}} \)

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( 5^{(4x+2) - (3x+4)} = 7^{5x - (4x+2)} \)

\( 5^{4x+2-3x-4} = 7^{5x-4x-2} \)

\( 5^{x-2} = 7^{x-2} \)

Представим это в виде:

\( \frac{5^{x-2}}{7^{x-2}} = 1 \)

Используем свойство степеней \( \frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m \):

\( (\frac{5}{7})^{x-2} = 1 \)

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно:

\( x-2 = 0 \)

\( x = 2 \)

Проверим полученное значение:

Левая часть: \( 35^{4(2)+2} = 35^{10} \)

Правая часть: \( 5^{3(2)+4} \cdot 7^{5(2)} = 5^{10} \cdot 7^{10} = (5 \cdot 7)^{10} = 35^{10} \)

Левая часть равна правой, значит, решение верное.

Ответ: x = 2.