3. Решить уравнение: 5 sin²x - 14 sin x cos x - 3 cos²x = 2

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени. Чтобы решить его, разделим обе части на \( \cos^2 x \), предварительно убедившись, что \( \cos x \neq 0 \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \). В этом случае \( \sin^2 x = 1 \). Подставим в уравнение:

\( 5(1) - 14(\pm 1)(0) - 3(0) = 2 \)

\( 5 = 2 \), что является неверным. Следовательно, \( \cos x \neq 0 \).

Разделим уравнение на \( \cos^2 x \):

\[ \frac{5 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{14 \sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3 \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{2}{\cos^2 x} \]

\[ 5 \tan^2 x - 14 \tan x - 3 = 2 \sec^2 x \]

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sec^2 x = 1 + \tan^2 x \):

\[ 5 \tan^2 x - 14 \tan x - 3 = 2(1 + \tan^2 x) \]

\[ 5 \tan^2 x - 14 \tan x - 3 = 2 + 2 \tan^2 x \]

Перенесём все члены в левую часть:

\[ 5 \tan^2 x - 2 \tan^2 x - 14 \tan x - 3 - 2 = 0 \]

\[ 3 \tan^2 x - 14 \tan x - 5 = 0 \]

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \tan x \). Получим квадратное уравнение:

\[ 3t^2 - 14t - 5 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(3)(-5) = 196 + 60 = 256 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).

Найдём корни уравнения для \( t \):

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 \]

\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \tan x \):

1. \( \tan x = 5 \)

\[ x = \arctan(5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

1. \( \tan x = -\frac{1}{3} \)

\[ x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]

Можно записать \( \arctan(-\frac{1}{3}) = -\arctan(\frac{1}{3}) \).

\[ x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \arctan(5) + \pi n \) и \( x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi m \), где \( n, m \in \mathbb{Z} \).