3. Решить уравнение: log_{0,4} (x + 2) + log_{0,4} (x + 3) = log_{0,4} (1 - x).

Решение:

Для решения уравнения воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):

• \( x + 2 > 0 \) \( \implies x > -2 \)
• \( x + 3 > 0 \) \( \implies x > -3 \)
• \( 1 - x > 0 \) \( \implies x < 1 \)

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: \( -2 < x < 1 \).

Теперь решим само уравнение. Применим свойство логарифма суммы: \( \log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N) \).

\[ \log_{0,4} ((x + 2)(x + 3)) = \log_{0,4} (1 - x) \]

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять аргументы:

\[ (x + 2)(x + 3) = 1 - x \]

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:

\[ x^2 + 3x + 2x + 6 = 1 - x \]

\[ x^2 + 5x + 6 = 1 - x \]

\[ x^2 + 5x + x + 6 - 1 = 0 \]

\[ x^2 + 6x + 5 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ (\( -2 < x < 1 \)).

• \( x_1 = -1 \) удовлетворяет условию \( -2 < -1 < 1 \).
• \( x_2 = -5 \) не удовлетворяет условию \( -2 < x < 1 \), так как \( -5 < -2 \).

Следовательно, посторонним является корень \( x_2 = -5 \).

Ответ: x = -1.