3. Решить уравнения: 1) \(5 \cdot 25^x = 125\); 2) \(4x^2 - 7x + 10 = 1\); 3) \(3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)

Решение:

1. \(5 \cdot 25^x = 125\)

\(25^x = \frac{125}{5}\)

\(25^x = 25\)

\(x = 1\)

2. \(4x^2 - 7x + 10 = 1\)

\(4x^2 - 7x + 9 = 0\)

Найдём дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 49 - 144 = -95\).

Так как \(D < 0\), действительных корней нет.

3. \(3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)

Сделаем замену: \(t = 3^x\), где \(t > 0\).

\(3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0\)

\(3t^2 - 10t + 3 = 0\)

Найдём дискриминант: \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64\).

\(t_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3\)

\(t_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

Теперь вернёмся к замене:

1) \(3^x = 3 \implies x = 1\)

2) \(3^x = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1\)

Ответ: 1) \(x=1\); 2) корней нет; 3) \(x=1, x=-1\).