3. Решить уравнения: а) методом группировки x³ − 4x² − x + 4 = 0; б) используя схему Горнера x³ − 2x² − 5x + 6 = 0; в) используя схему Горнера x⁴ + 2x³ − 6x² + 2x + 1 = 0; г) методом замены (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0.

а) Метод группировки

\(x^3-4x^2-x+4=0\).

Группируем слагаемые и выносим общие множители:

\(x^2(x-4)-(x-4)=0\).

\((x-4)(x^2-1)=0\).

Разность квадратов: \((x-4)(x-1)(x+1)=0\).

Следовательно, \(x=4\), \(x=1\) или \(x=-1\).

б) Схема Горнера

Проверяем корень \(x=1\): значение многочлена равно \(1-2-5+6=0\). Схема деления коэффициентов на \(x-1\): \(1, -2, -5, 6\rightarrow 1, -1, -6\), остаток равен 0.

\(x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)\).

Ответ: \(x=1\), \(x=3\), \(x=-2\).

в) Схема Горнера

Проверяем \(x=1\): \(1+2-6+2+1=0\). По схеме Горнера после деления на \(x-1\) получаем коэффициенты \(1, 3, -3, -1\); остаток равен 0.

Полученный многочлен также делится на \(x-1\): при схеме Горнера коэффициенты \(1, 3, -3, -1\) дают частное с коэффициентами \(1, 4, 1\) и остаток 0.

\(x^4+2x^3-6x^2+2x+1=(x-1)^2(x^2+4x+1)\).

Из \((x-1)^2=0\) получаем \(x=1\). Для квадратного множителя:

\(x^2+4x+1=0\), \(D=16-4=12\), поэтому \(x=\frac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=-2\pm\sqrt{3}\).

Ответ: \(x=1\), \(x=-2+\sqrt{3}\), \(x=-2-\sqrt{3}\).

г) Метод замены

Пусть \(t=x^2+x\). Тогда уравнение принимает вид:

\(t^2-8t+12=0\).

\((t-2)(t-6)=0\), следовательно, \(t=2\) или \(t=6\).

При \(t=2\): \(x^2+x=2\), то есть \((x-1)(x+2)=0\); получаем \(x=1\) или \(x=-2\).

При \(t=6\): \(x^2+x=6\), то есть \((x-2)(x+3)=0\); получаем \(x=2\) или \(x=-3\).

Ответ: \(x=-3, -2, 1, 2\).