3. Решите биквадратное уравнение: а) x⁴ − 10x² + 9 = 0; б) x⁴ − 18x² + 32 = 0; в) x⁴ − x² − 12 = 0; г) x⁴ + 6x² − 27 = 0; д) x⁴ + 15x² + 54 = 0; е) x⁴ + 25x² = 0.

Во всех уравнениях сделаем замену: \(t=x^2\), где \(t\geq 0\). Решим полученное квадратное уравнение и вернёмся к переменной \(x\).

а) \(t^2-10t+9=0\). Разложим на множители: \((t-1)(t-9)=0\), поэтому \(t=1\) или \(t=9\). Тогда \(x^2=1\) или \(x^2=9\), откуда \(x=\pm1\) или \(x=\pm3\).

б) \(t^2-18t+32=0\). Разложим на множители: \((t-2)(t-16)=0\), поэтому \(t=2\) или \(t=16\). Тогда \(x^2=2\) или \(x^2=16\), откуда \(x=\pm\sqrt{2}\) или \(x=\pm4\).

в) \(t^2-t-12=0\). Разложим на множители: \((t-4)(t+3)=0\), поэтому \(t=4\) или \(t=-3\). Учитывая условие \(t\geq0\), оставляем \(t=4\). Значит, \(x^2=4\), откуда \(x=\pm2\).

г) \(t^2+6t-27=0\). Разложим на множители: \((t-3)(t+9)=0\), поэтому \(t=3\) или \(t=-9\). Учитывая условие \(t\geq0\), оставляем \(t=3\). Значит, \(x^2=3\), откуда \(x=\pm\sqrt{3}\).

д) \(t^2+15t+54=0\). Разложим на множители: \((t+6)(t+9)=0\), поэтому \(t=-6\) или \(t=-9\). Оба значения отрицательны, а \(t=x^2\geq0\), поэтому действительных корней нет.

е) \(t^2+25t=0\). Разложим на множители: \(t(t+25)=0\), поэтому \(t=0\) или \(t=-25\). Условию \(t\geq0\) соответствует только \(t=0\). Значит, \(x^2=0\), откуда \(x=0\).

Ответ: а) \(x=\pm1,\pm3\); б) \(x=\pm\sqrt{2},\pm4\); в) \(x=\pm2\); г) \(x=\pm\sqrt{3}\); д) действительных корней нет; е) \(x=0\).