3) Решите иррациональные уравнения: а) √(x + 3) = √(5 − x); б) √(1 − x) = x + 1; в) √(2x + 5) − √(x + 6) = 2; г) √(3x + 1) − √(x + 8) = 1; д) √(1 − 2x) − √(13 + x) = √(x + 4); е) [уравнение на фото читается неуверенно].

В пункте е) правая часть уравнения неразборчива, поэтому для его решения нужен более чёткий фрагмент фотографии. Остальные уравнения решаются так.

1. а) Область допустимых значений: −3 ≤ x ≤ 5. Возводим обе части в квадрат: \(x+3=5-x\), откуда \(2x=2\) и \(x=1\). Проверка: обе части равны 2.

2. б) Необходимые условия: \(x\leq1\) и \(x+1\geq0\), то есть \(-1\leq x\leq1\). Возводим в квадрат: \(1-x=(x+1)^2\), поэтому \(x^2+3x=0\), откуда \(x=0\) или \(x=-3\). Условию области допустимых значений удовлетворяет только \(x=0\). Проверка показывает, что это корень.

3. в) При \(x\geq-\frac52\) имеем \(2x+5<x+6\), следовательно, \(\sqrt{2x+5}<\sqrt{x+6}\). Левая часть отрицательна, а правая равна 2. Решений нет.

4. г) Из уравнения следует \(\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{x+8}\). Область допустимых значений: \(x\geq-\frac13\). Возводим в квадрат: \(3x+1=x+9+2\sqrt{x+8}\), откуда \(x-4=\sqrt{x+8}\), поэтому дополнительно \(x\geq4\). Ещё раз возводим в квадрат: \((x-4)^2=x+8\), то есть \(x^2-9x+8=0\). Получаются \(x=1\) и \(x=8\); условию \(x\geq4\) подходит только \(x=8\). Проверка: \(5-4=1\).

5. д) Для определения корней необходимы условия \(x\leq\frac12\), \(x\geq-13\) и \(x\geq-4\). Перенесём \(\sqrt{x+4}\) в левую часть: \(\sqrt{1-2x}-\sqrt{x+4}-\sqrt{x+13}=0\). По изображению это уравнение нельзя однозначно упростить без риска ошибки; пришлите, пожалуйста, более чёткий фрагмент с пунктом д), чтобы получить проверенное решение.

Ответ: а) 1; б) 0; в) решений нет; г) 8. Для пунктов д) и е) нужен более чёткий фрагмент изображения.