Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Решите неравенства: 9^(3x−2) ≥ (1/27)^(2x−3); (1/8)^(2x+3) ≥ 4^(x−1); ⁴√(7x+1) ≤ 49/√7; (5/2)^(8x²+5x) ≥ (2/5)^(2x²−8x);…Фото задания

Ответ:

  1. \(9^{3x-2}\geq\left(\frac{1}{27}\right)^{2x-3}\).

    Представим обе части как степени числа 3: \(3^{6x-4}\geq3^{-6x+9}\). Так как \(3>1\), сравниваем показатели: \(6x-4\geq-6x+9\), откуда \(12x\geq13\).

    Ответ: \(x\geq\frac{13}{12}\).

  2. \(\left(\frac{1}{8}\right)^{2x+3}\geq4^{x-1}\).

    Переходим к основанию 2: \(2^{-6x-9}\geq2^{2x-2}\). Поскольку \(2>1\), получаем \(-6x-9\geq2x-2\), то есть \(-8x\geq7\).

    Ответ: \(x\leq-\frac{7}{8}\).

  3. \(\sqrt[4]{7x+1}\leq\frac{49}{\sqrt7}\).

    Область определения: \(7x+1\geq0\), поэтому \(x\geq-\frac17\). Правая часть равна \(7\sqrt7\). Обе части неотрицательны, поэтому возводим в четвёртую степень: \(7x+1\leq(7\sqrt7)^4=7^6=117649\). Следовательно, \(x\leq16806\).

    Ответ: \(x\in\left[-\frac17;16806\right]\).

  4. \(\left(\frac52\right)^{8x^2+5x}\geq\left(\frac25\right)^{2x^2-8x}\).

    Запишем правую часть с основанием \(\frac52\): \(\left(\frac52\right)^{8x^2+5x}\geq\left(\frac52\right)^{-2x^2+8x}\). Так как \(\frac52>1\), сравниваем показатели: \(10x^2-3x\geq0\), или \(x(10x-3)\geq0\).

    Ответ: \(x\in(-\infty;0]\cup\left[\frac3{10};+\infty\right)\).

  5. \(\frac{4-x}{x+2}\geq16\), где \(x\neq-2\).

    Перенесём 16 в левую часть и приведём к общей дроби: \(\frac{4-x-16(x+2)}{x+2}\geq0\), то есть \(\frac{-17x-28}{x+2}\geq0\). Критические точки: \(-2\) и \(-\frac{28}{17}\). Проверка знаков на промежутках показывает, что неравенство выполняется между этими точками; точка \(-\frac{28}{17}\) входит в решение, а \(-2\) исключается из области определения.

    Ответ: \(x\in\left(-2;-\frac{28}{17}\right]\).

  6. \(2^x-2^{x-2}\leq3\).

    Вынесем общий множитель: \(2^{x-2}(4-1)\leq3\), откуда \(3\cdot2^{x-2}\leq3\). Делим на 3: \(2^{x-2}\leq1=2^0\). Так как основание больше 1, \(x-2\leq0\).

    Ответ: \(x\leq2\).