3) Решите неравенства. Вариант I: а) log₃(x − 2) < 2; б) log₀,₅(2x − 4) ≥ log₀,₅(x + 1); в) log₂(x − 3) + log₂(x − 2) ≤ 1. Вариант II: а) log₂(8 − x) < 1; б) log₁/₃(x + 1) ≥ log₁/₃(3 − x); в) log₂ x + log₂(x − 1) ≤ 1.

Вариант I

1. ОДЗ: x > 2. Основание 3 больше 1, поэтому x − 2 < 3² = 9. Совместно с ОДЗ получаем 2 < x < 11.

2. ОДЗ: 2x − 4 > 0 и x + 1 > 0, то есть x > 2. Основание 0,5 меньше 1, поэтому знак меняется: 2x − 4 ≤ x + 1. Отсюда x ≤ 5. Ответ: 2 < x ≤ 5.

3. ОДЗ: x > 3. Объединяем логарифмы: log₂((x − 3)(x − 2)) ≤ 1. Основание больше 1, поэтому (x − 3)(x − 2) ≤ 2. Получаем x² − 5x + 4 ≤ 0, то есть 1 ≤ x ≤ 4. С учётом ОДЗ: 3 < x ≤ 4.

Вариант II

1. ОДЗ: x < 8. Основание 2 больше 1, поэтому 8 − x < 2. Отсюда x > 6. Ответ: 6 < x < 8.

2. ОДЗ: −1 < x < 3. Основание 1/3 меньше 1, поэтому знак меняется: x + 1 ≤ 3 − x. Получаем x ≤ 1, а с учётом ОДЗ −1 < x ≤ 1.

3. ОДЗ: x > 1. Объединяем логарифмы: log₂(x(x − 1)) ≤ 1. Так как основание больше 1, x(x − 1) ≤ 2, то есть x² − x − 2 ≤ 0. Корни −1 и 2; решение квадратного неравенства — [−1, 2]. Пересечение с ОДЗ: 1 < x ≤ 2.