3. Решите неравенство: 1) а) (x − 3)/(x + 7) < 0; б) (x + 9)/(x − 6) ≥ 0; в) 7x/(4x − 10) ≤ 0; 2) а) (2x − 10)/(x + 8) < 0; б) (x² − 16)/(x + 9) ≥ 0; в) ((x − 1)(x² − 49))/(x² + 8) ≤ 0.

Question

Вопрос:

Фото задания

3. Решите неравенство: 1) а) (x − 3)/(x + 7) < 0; б) (x + 9)/(x − 6) ≥ 0; в) 7x/(4x − 10) ≤ 0; 2) а) (2x − 10)/(x + 8) < 0; б) (x² − 16)/(x + 9) ≥ 0; в) ((x − 1)(x² − 49))/(x² + 8) ≤ 0.

Accepted Answer

1а) Критические точки: \(-7\) и \(3\). Знак «минус» получается между ними, при этом \(x=-7\) исключается:

\[x\in(-7;3).\]

1б) Критические точки: \(-9\) и \(6\). Нуль числителя включается, нуль знаменателя исключается:

\[x\in(-\infty;-9]\cup(6;+\infty).\]

1в) Критические точки: \(0\) и \(\frac{5}{2}\). Числитель обращается в нуль при \(x=0\), а знаменатель — при \(x=\frac{5}{2}\):

\[x\in\left[0;\frac{5}{2}\right).\]

2а) Критические точки: \(-8\) и \(5\). Отрицательный знак получается между ними:

\[x\in(-8;5).\]

2б) Разложим числитель:

\[\frac{x^2-16}{x+9}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+9}.\]

Критические точки: \(-9,-4,4\). С учётом знаков и включения нулей числителя:

\[x\in(-\infty;-9)\cup[-4;+\infty).\]

2в) Так как \(x^2+8>0\), исследуем знак числителя:

\[(x-1)(x^2-49)=(x-1)(x-7)(x+7).\]

Критические точки: \(-7,1,7\). Нули числителя включаются:

\[x\in(-\infty;-7]\cup[1;7].\]

Ответ: 1а) \((-7;3)\); 1б) \((-\infty;-9]\cup(6;+\infty)\); 1в) \([0;\frac{5}{2})\); 2а) \((-8;5)\); 2б) \((-\infty;-9)\cup[-4;+\infty)\); 2в) \((-\infty;-7]\cup[1;7]\).