Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. Решите неравенство: 1) x² − 5x + 6 = 0; 2) x² − 7x + 12 = 0; 3) x² − 9x + 20 = 0; 4) x² − 3x + 2 ≤ 0; 5) x² − 6x + 8 ≥…Фото задания

Ответ:

В заданиях 1–3 записаны уравнения, поэтому находим их корни. Для квадратных неравенств находим корни соответствующего трёхчлена и учитываем направление ветвей параболы; если действительных корней нет, определяем знак по коэффициенту при квадрате.

  1. x = 2 или x = 3. Разложение: (x − 2)(x − 3) = 0.
  2. x = 3 или x = 4. Разложение: (x − 3)(x − 4) = 0.
  3. x = 4 или x = 5. Разложение: (x − 4)(x − 5) = 0.
  4. x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2); парабола направлена вверх, поэтому x ∈ [1; 2].
  5. x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4); выражение неотрицательно вне промежутка между корнями: x ∈ (−∞; 2] ∪ [4; +∞).
  6. −x² + 5x − 6 = −(x − 2)(x − 3). Требуется (x − 2)(x − 3) ≥ 0, значит x ∈ (−∞; 2] ∪ [3; +∞).
  7. −x² + 7x − 12 = −(x − 3)(x − 4). Требуется (x − 3)(x − 4) ≤ 0, значит x ∈ [3; 4].
  8. −x² + 8x − 24 ≤ 0 равносильно x² − 8x + 24 ≥ 0. Дискриминант равен 64 − 96 = −32, а ветви направлены вверх; выражение положительно при всех x. x ∈ ℝ.
  9. (x − 3)(x − 6) ≤ 0, поэтому x ∈ [3; 6].
  10. (x + 2)(x + 4) ≥ 0, поэтому x ∈ (−∞; −4] ∪ [−2; +∞).
  11. Дискриминант равен 25 − 32 = −7; при положительном старшем коэффициенте выражение всегда положительно. Решений нет.
  12. Дискриминант равен −7; выражение всегда положительно. x ∈ ℝ.
  13. Дискриминант равен 16 − 60 = −44; выражение всегда положительно. Решений нет.
  14. Дискриминант равен 49 − 84 = −35; выражение всегда положительно. Решений нет.
  15. Дискриминант равен 36 − 80 = −44; выражение всегда положительно. Решений нет.
  16. 3x + 4 ≤ −2x − 1 ⇒ 5x ≤ −5, поэтому x ≤ −1.
  17. −2x + 3 ≥ x + 6 ⇒ −3x ≥ 3; при делении на −3 знак меняется: x ≤ −1.
  18. 5x ≤ 2x + 18 ⇒ 3x ≤ 18, поэтому x ≤ 6.
  19. 12x − 7 ≥ 10x + 3 ⇒ 2x ≥ 10, поэтому x ≥ 5.
  20. 6x − 4 ≤ 2x + 8 ⇒ 4x ≤ 12, поэтому x ≤ 3.