3. Решите неравенство: 1) \(x>\sqrt{24-5x}\); 2) \(\sqrt{2x+7}\le x+2\); 3) \(3-x>3\sqrt{1-x^2}\); 4) \(\sqrt{7x-x^2-6}<2x+3\).

1) Область определения: \(24-5x\ge0\). Правая часть неотрицательна, поэтому из исходного неравенства также следует \(x>0\). Возводим обе части в квадрат:

\(x^2>24-5x\), то есть \((x+8)(x-3)>0\). Следовательно, \(x<-8\) или \(x>3\). С учётом \(x>0\) и \(x\le\frac{24}{5}\) получаем \(3

2) Требуется \(2x+7\ge0\), а также \(x+2\ge0\), поскольку левая часть неотрицательна. Значит, \(x\ge-2\). Возводим обе части в квадрат:

\(2x+7\le(x+2)^2\), откуда \(x^2+2x-3\ge0\), то есть \((x+3)(x-1)\ge0\). Пересечение с \(x\ge-2\) даёт \(x\ge1\).

3) Область определения: \(-1\le x\le1\). На этом промежутке \(3-x>0\), поэтому можно возвести обе части в квадрат:

\((3-x)^2>9(1-x^2)\), откуда \(10x^2-6x>0\), то есть \(2x(5x-3)>0\). Значит, \(x<0\) или \(x>\frac35\). С учётом области определения получаем \([-1,0)\cup(\frac35,1]\).

4) Область определения: \(7x-x^2-6\ge0\), то есть \((x-1)(x-6)\le0\), откуда \(1\le x\le6\). На этом промежутке \(2x+3>0\), поэтому сравниваем квадраты:

\(7x-x^2-6<(2x+3)^2\), или \(5x^2+5x+15>0\). Последнее верно для всех действительных \(x\), так как \(5x^2+5x+15=5((x+\frac12)^2+\frac{11}{4})>0\). Все значения из области определения подходят.

Ответ: 1) \((3,\frac{24}{5}]\); 2) \([1,+\infty)\); 3) \([-1,0)\cup(\frac35,1]\); 4) \([1,6]\).