3. Решите неравенство: 4^x + 4^{-x} \(\ge\) \(\frac{10}{3}\).

Решение:

Пусть \( y = 4^x \). Тогда \( 4^{-x} = \frac{1}{4^x} = \frac{1}{y} \). Неравенство примет вид:

\[ y + \frac{1}{y} \ge \frac{10}{3} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{3y^2 + 3}{3y} \ge \frac{10y}{3y} \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac{3y^2 + 3 - 10y}{3y} \ge 0 \]

Рассмотрим числитель \( 3y^2 - 10y + 3 \). Найдем его корни:

\[ 3y^2 - 10y + 3 = 0 \]

Дискриминант \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).

Корни:

\[ y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

Таким образом, числитель раскладывается как \( 3(y-3)(y-\frac{1}{3}) \).

Неравенство принимает вид:

\[ \frac{3(y-3)(y-\frac{1}{3})}{3y} \ge 0 \]

\[ \frac{(y-3)(y-\frac{1}{3})}{y} \ge 0 \]

Так как \( y = 4^x \), то \( y > 0 \). Следовательно, знаменатель \( y \) всегда положителен.

Сведём к методу интервалов для \( y \):

\( (y-3)(y-\frac{1}{3}) \ge 0 \)

Корни: \( y = 3 \) и \( y = \frac{1}{3} \).

Интервалы: \( (-\infty, \frac{1}{3}] \cup [3, \infty) \).

Учитывая \( y > 0 \), получаем: \( y \in (0, \frac{1}{3}] \cup [3, \infty) \).

Теперь вернёмся к \( x \), подставив \( y = 4^x \):

1. \( 4^x \le \frac{1}{3} \)

\( 4^x \le 4^{-\log_4 3} \) (не совсем верно, лучше так: \( x \le \log_4 \frac{1}{3} \))

\( x \le \log_4 \frac{1}{3} = -\log_4 3 \)

2. \( 4^x \ge 3 \)

\( x \ge \log_4 3 \)

Объединяем решения:

\[ x \in (-\infty, -\log_4 3] \cup [\log_4 3, \infty) \]

Можно также записать:

\[ x \in (-\infty, \log_{4} \frac{1}{3}] \cup [\log_{4} 3, \infty) \]

Ответ: \( x \in (-\infty, \log_{4} \frac{1}{3}] \cup [\log_{4} 3, \infty) \).